MNOŽINY BODŮ DANÉ VLASTNOSTI

Množina M všech bodů roviny ρ, které mají danou vlastnost, je množina bodů, pro kterou současně platí:

• Každý bod množiny M má danou vlastnost.
• Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny M.

Chceme - li dokázat, že nějaká množina bodů je množinou všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě výše uvedené podmínky. Přitom můžeme druhou podmínku nahradit ekvivalentní podmínkou: Žádný bod, který do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost. Ověření této ekvivalentní podmínky bývá snadnější.

Následně si uvedeme několik množin všech bodů dané vlastnosti, které budeme často využívat. Pro lepší představitelnost si vždy uvedeme i obrázek.

Kružnice k (S; r) je množina všech bodů v rovině, které mají od bodu S (střed) vzdálenost r (poloměr). Symbolicky zapisujeme: k (S;r) = {Xϵ ρ; |SX| = r}.

Osa úsečky AB je množina všech bodů v rovině, které mají od bodů A a B stejnou vzdálenost. Symbolicky zapisujeme: o =

{Xϵ ρ; |AX| = |BX|}.

Množinou všech bodů, které mají od přímky p vzdálenost v (v > 0), je dvojice přímek q, q' rovnoběžných s přímkou p (ve vzdálenosti v od přímky p). Symbolicky zapisujeme: q ∪ q’{Xϵ ρ; |Xp| = v}.

Množinou všech bodů konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od jeho ramen, je osa tohoto úhlu. Symbolicky zapisujeme: o = X ϵ AVB; |X;→VA| = |X;→VB|}.

Množina vrcholů všech úhlů o velikosti α, jejichž ramena procházejí body A, B (A ≠ B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod úhlem α, jsou dva shodné kružnicové oblouky k₁, k₂ s krajními body A, B (tyto body do množiny nepatří). Symbolicky zapisujeme: k₁ ∪ k₂ \ {A,B}= { X ϵ ρ; |AXB| = α}.

Speciálním typem kružnicových oblouků je Thaletova kružnice. Velikost úhlu α je 90°. Střed kružnice leží ve středu úsečky AB.

Tyto kružnicové oblouky jsou pro nás něco nového, proto se jim budeme věnovat více. Nejprve si uvedeme postup, jak tuto množinu bodů sestrojit. Postup je zde uveden jen pro jeden oblouk, střed druhého oblouku získáme analogicky nebo za použití středové symetrie.

1. BAY; |BAY| = α

2. p; p ⊥ ↦ AY; A ϵ p

3. S; S ϵ p ∩ o_AB

4. k; k (S; |SA|)